Le 25/10/2010

M. et Mme Gaston ont du mal à trouver le sommeil, car leur voisins du dessus donnent une petite fête. Tout à coup, un bouchon saute, et les amis trinquent tous ensemble. M. Gaston entend 45 tintements de verre. Devinez alors combien il y a de convives si chaque personne trinque une seule fois avec tout les autres?

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Enigme - La fiesta

Soit x le nombre de convives. La première personne va trinquer avec x-1 personnes, la deuxième x-2, .. jusqu'à la dernière avec 1 personne.
D'où 45=(x-1)+(x-2)+..+1 Ce qui résolu donne x=10.
45=9+8+7+6+5+4+3+2+1

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Le 25/10/2010

Un père et son fils ont 60 kilomètres à parcourir. Ils possèdent un cheval qui fait une moyenne de 12 km/h. Mais le cheval ne peut porter plus d'une personne à la fois, ils sont donc obligés d'alterner les temps où l'un est sur le cheval et où l'autre marche. Le père marche à 6 km/h et le fils à 8km/h. S'ils atteignent le but ensemble, combien de temps au minimum mettront-ils?

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Enigme - Le père, le fils et le cheval

Plusieures techniques peuvent être employées pour atteindre l'arrivée. Le fils marche seul (7h30), le père marche seul (10h). Mais ils peuvent intervertir la marche et le cheval. Donc pour que les deux arrivent en même temps on peut écrire le systeme d'équations avec L la distance parcourue par le père à pied:
L/6+(60-L)/12=L/12+(60-L)/8
Ce qui donne L=20. Soit le temps du voyage de 6h40 min.

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Le 25/10/2010

Une personne a dépensé tout ce qu'elle avait en poche dans cinq magasins. Dans chacun elle a dépensé dix euros de plus que la moitié de ce qu'elle avait en entrant. Combien avait-elle en poche au départ ?

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Enigme - Le dépensier

Apres le dernier magasin, il ne lui reste plus rien. Elle avait donc en y entrant :
2 × ( 0 + 10 ) = 20 euros
Même calcul pour les précédents :
2 × ( 20 + 10 ) = 60 euros
2 × ( 60 + 10 ) = 140 euros
2 × ( 140 + 10 ) = 300 euros
2 × ( 300 + 10 ) = 620 euros
Elle avait donc 620 euros au départ

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Le 25/10/2010

Un escargot se trouve dans un puit profond de 12 mètres. Sachant que chaque jour il monte le long de ce puit de 3 mètres et la nuit, pendant qu'il dort, il descend de 2 mètres. Sachant que la vitesse de montée et de descente est la même, et qu'il n'y a pas de temps de latence entre les deux. Au bout de combien de temps est-il arrivé en haut du puits ?

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Enigme - L'escargot

La nuit du 9ème jour, l'escargot se trouve à 9 mètres du sol. Au 10ème jour,il arrivera à 9+3=12 mètres, la hauteur du puit. Il arrivera donc en haut du puit au cours du dizième jour. Donc exactement 9 jours et 3/5 de jour. Soit 9 jours, 14 heures et 24 minutes et 24 secondes.

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Le 25/10/2010

Un alpiniste s'apprête à tenter en solitaire une escalade qui durera 15 jours. La descente est aussi délicate que la montée et nécessite aussi 15 jours (donc 30 jours en tout).Il ne peut emmener que 18 rations journalières (nourriture et eau). Dans cette montagne, aucun refuge n'a été construit, pas question d'espérer retrouver le moindre paquet abandonné. Heureusement, l'alpiniste peut compter sur un sherpa, pour l'accompagner sur une partie de l'ascension, porter des provisions ou aller en chercher. Comme lui, son assistant peut se charger de 18 rations, comme lui, il en consomme une par jour. Comment les deux hommes devront-ils procéder pour que chacun mange à sa faim et que l'alpiniste réussisse son exploit dans les temps prévus ?

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Enigme - L'ascension

Il faut que l'alpiniste mangent les rations du sherpa quand ils montent ou descendent ensemble.
Initialement chacun possède 18 rations. Calculons le nombre de rations que l'alpiniste pourra manger afin que le sherpa puisse redescendre faire le ravitaillement.
Appelons S le sherpa et A l'alpiniste.
Le moment où ils se séparent correspond à l'égalité entre le nombre de jours et de rations restantes du sherpa. Soit 6 jours, l'alpiniste et le sherpa auront mangé 12 rations.
Au 6e jour quand ils se séparent: A=18 rations, S=6 rations.
Au 12e jour le sherpa arrive pour faire le ravitaillement. A=12 rations, S=18 rations.
Le sherpa doit donc maintenant attendre puis atteindre l'alpiniste le jour ou il prend sa dernière ration. Pour l'alpiniste il lui reste 12 rations; 3 jours de montée et 15 jours de descente. Sa dernière ration prise le sera le 9e jour de descente soit le 24 jour.
Le sherpa doit donc le rejoindre à ce moment là, c'est à dire à 6 jours de montée. Il partira donc du campement de base à 24-6=18e jour.
Il se rencontre donc le 24 jours: A=0 rations, S=12 rations. Ils peuvent maintenant descendre et manger ensemble pendant les 6 derniers jours les 6 derniers rations restantes.

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Le 06/12/2010

Une maladie mortelle a frappé la planète Terre. D'après les plus récentes statistiques (très fiables), 1 personne sur 10.000 a cette maladie. Vous vous sentez un peu troublé par ces nouvelles et pour être certain de ne pas être vous même malade, vous décidez de faire un dépistage.
Le médecin vous prévient qu'il existe bien un examen, mais il n'est fiable qu'à 99% (donc il se trompe de diagnostic 1% du temps). Vous passez le test et, horreur, le courrier vous indique que vous êtes malade.
Devez-vous vous inquiéter ? Quelle probabilité avez-vous d'être effectivement malade ?

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Enigme - Virus

On note les évènements :
être malade : m
se voir annoncer qu'on est malade après un test : a
On cherche la probalité d'être malade sachant que le test est positif soit p(m/a).
Or l'équation mathématique peut s'écrire:
p(m/a) = p(m & a) / p(a)
p(m & a ) = 1/10000 * 0.99 (dans le cas où on est malade, on se fait annoncer qu'on est malade à 99%).
pour p(a) : a se réalise dans deux cas très différents : ou bien on est malade et le test a été correct, ou bien on ne l'est pas et le test a été faux.
p(a) = 1/10000 * 0.99 + (1-1/10000) * (1 - 0.99)
d'où p(m) = 1 / (1 + (1-p1)(1-p2)/(p1p2) )
p(m) ~= 0.98%
Pas de raison de s'inquiéter donc. Il y a beaucoup plus de chances que le test ait été faux, qu'on ait été touché par la maladie.

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Le 07/12/2010

2 amis se rencontrent dans un café. Le premier, Matthieu, prend un café et le deuxième, Etienne, prend un verre de lait. Les 2 liquides ont exactement la même contenance.
Matthieu trempe sa cuillère dans son café et la verse en entier dans le lait d'Etienne. Etienne fait de même avec son verre et verse le lait mélangé dans la tasse de café de Matthieu.
Matthieu objecte alors:
"Je crois bien que j'ai moins de lait dans mon café que tu n'as de café dans ton lait, car je t'ai donné une cuillère pleine de café et tu m'as donné une cuillère de café au lait !"
Etes-vous d'accord avec cette affirmation?

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Enigme - Le café au lait

A première vue cela semble juste. Mais il faut se rappeler que la tasse de Matthieu n'est plus pleine après avoir vidé sa cuillère dans le verre d'Etienne.

A cette étape dans le verre d'Etienne le pourcentage de café est de x/(x+y) où x représente le volume de la cuillère et y le volume du verre. Le pourcentage de thé est y/(x+y). Le pourcentage ne bouge pas quand on passe le lait au café d'Etienne dans le café de Matthieu.

Il suffit maintenant de calculer le pourcentage de thé dans la tasse de Matthieu. Pour cela on multiplie le pourcentage de thé de la tasse d'Etienne par x le volume de la cuillère que l'on divise par le volume de la tasse de café y. On trouve alors:
x*(y/(x+y))/y=x/(x+y)
Soit le même pourcentage de café dans la tasse d'Etienne.

CQFD

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