Le 05/12/2010

Un bateau transatlantique ayant x cheminées, y hélices et z hommes à bord part le nème jour du pème mois de l'année 1900+t, où t est compris entre 0 et 99.

Le produit de x par y par z par n par p par t auquel on ajoute la racine cubique de l'âge du capitaine vaut exactement 4752862.

Quel est l'âge du capitaine ?
Quel jour le bateau a-t-il été lancé, et combien y-a-t-il d'hommes à bord ?

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Enigme - L'âge du capitaine

La racine cubique de l'âge du capitaine est donc un nombre entier. Les cubes des premiers nombres entiers sont:
1^3= 1, 2^3= 8, 3^3= 27, 4^3= 64, et 5^3= 125

Seul les âges de 27 et 64 ans sont possibles pour un capitaine au long cours, donc la racine cubique de l'âge du capitaine est: soit 3, soit 4.

Ce ne peut être 3. En effet: 4752862-3 = 4752859 , et la décomposition en facteurs premiers de 4752859 est : 4752859 =347 x 13697, qui n'est pas le produit de 6 nombres entiers.

La racine cubique est donc 4 et le capitaine a 64 ans.

4752862-4 = 4752858 et la décomposition en facteurs premiers de 4752858 est:
4752858 = 2 x 3 x 11 x 23 x 31 x 101

Les nombres de cheminées et d'hélices ne peuvent être que 2 et 3.

23, 31 et 101 ne peuvent être des numéros de mois, donc le mois est novembre et le jour est 23.

Le bateau a donc été lancé le 23 novembre 1931 avec 101 hommes à bord.

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Le 06/12/2010

Une maladie mortelle a frappé la planète Terre. D'après les plus récentes statistiques (très fiables), 1 personne sur 10.000 a cette maladie. Vous vous sentez un peu troublé par ces nouvelles et pour être certain de ne pas être vous même malade, vous décidez de faire un dépistage.
Le médecin vous prévient qu'il existe bien un examen, mais il n'est fiable qu'à 99% (donc il se trompe de diagnostic 1% du temps). Vous passez le test et, horreur, le courrier vous indique que vous êtes malade.
Devez-vous vous inquiéter ? Quelle probabilité avez-vous d'être effectivement malade ?

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Enigme - Virus

On note les évènements :
être malade : m
se voir annoncer qu'on est malade après un test : a
On cherche la probalité d'être malade sachant que le test est positif soit p(m/a).
Or l'équation mathématique peut s'écrire:
p(m/a) = p(m & a) / p(a)
p(m & a ) = 1/10000 * 0.99 (dans le cas où on est malade, on se fait annoncer qu'on est malade à 99%).
pour p(a) : a se réalise dans deux cas très différents : ou bien on est malade et le test a été correct, ou bien on ne l'est pas et le test a été faux.
p(a) = 1/10000 * 0.99 + (1-1/10000) * (1 - 0.99)
d'où p(m) = 1 / (1 + (1-p1)(1-p2)/(p1p2) )
p(m) ~= 0.98%
Pas de raison de s'inquiéter donc. Il y a beaucoup plus de chances que le test ait été faux, qu'on ait été touché par la maladie.

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Le 07/12/2010

2 amis se rencontrent dans un café. Le premier, Matthieu, prend un café et le deuxième, Etienne, prend un verre de lait. Les 2 liquides ont exactement la même contenance.
Matthieu trempe sa cuillère dans son café et la verse en entier dans le lait d'Etienne. Etienne fait de même avec son verre et verse le lait mélangé dans la tasse de café de Matthieu.
Matthieu objecte alors:
"Je crois bien que j'ai moins de lait dans mon café que tu n'as de café dans ton lait, car je t'ai donné une cuillère pleine de café et tu m'as donné une cuillère de café au lait !"
Etes-vous d'accord avec cette affirmation?

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Enigme - Le café au lait

A première vue cela semble juste. Mais il faut se rappeler que la tasse de Matthieu n'est plus pleine après avoir vidé sa cuillère dans le verre d'Etienne.

A cette étape dans le verre d'Etienne le pourcentage de café est de x/(x+y) où x représente le volume de la cuillère et y le volume du verre. Le pourcentage de thé est y/(x+y). Le pourcentage ne bouge pas quand on passe le lait au café d'Etienne dans le café de Matthieu.

Il suffit maintenant de calculer le pourcentage de thé dans la tasse de Matthieu. Pour cela on multiplie le pourcentage de thé de la tasse d'Etienne par x le volume de la cuillère que l'on divise par le volume de la tasse de café y. On trouve alors:
x*(y/(x+y))/y=x/(x+y)
Soit le même pourcentage de café dans la tasse d'Etienne.

CQFD

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Un ballon à l'hélium monte dans l'air tout doucement. La première seconde il parcourt 1 m, la deuxième 50 cm, la troisième 25 cm et de suite.
Indéfiniment le ballon ne s'arrête pas de monter. Par seconde il parcourt la moitié de ce qu'il a monté la seconde précédente.
Jusqu'où le ballon va-t-il monter?

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Enigme - Le ballon à l'hélium

On pourrait croire comme le ballon monte indéfiniment qu'il va atteindre la limite de l'atmosphère. Or ce raisonnement est faux.
Le ballon dans son parcours suit une somme infinie de raison 1/2. Mathématiquement à la n-ième seconde son altitude atteinte est:
H=1+1/2+1/4+...1/2^n
La valeur de cette somme à l'infini est connue est vaut: H=1/(1-1/2)=2
Donc le ballon tend vers la hauteur de 2 mètres mais sans jamais l'atteindre..

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