Le 25/10/2010

M. et Mme Gaston ont du mal à trouver le sommeil, car leur voisins du dessus donnent une petite fête. Tout à coup, un bouchon saute, et les amis trinquent tous ensemble. M. Gaston entend 45 tintements de verre. Devinez alors combien il y a de convives si chaque personne trinque une seule fois avec tout les autres?

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Enigme - La fiesta

Soit x le nombre de convives. La première personne va trinquer avec x-1 personnes, la deuxième x-2, .. jusqu'à la dernière avec 1 personne.
D'où 45=(x-1)+(x-2)+..+1 Ce qui résolu donne x=10.
45=9+8+7+6+5+4+3+2+1

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Le 25/10/2010

Une personne a dépensé tout ce qu'elle avait en poche dans cinq magasins. Dans chacun elle a dépensé dix euros de plus que la moitié de ce qu'elle avait en entrant. Combien avait-elle en poche au départ ?

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Enigme - Le dépensier

Apres le dernier magasin, il ne lui reste plus rien. Elle avait donc en y entrant :
2 × ( 0 + 10 ) = 20 euros
Même calcul pour les précédents :
2 × ( 20 + 10 ) = 60 euros
2 × ( 60 + 10 ) = 140 euros
2 × ( 140 + 10 ) = 300 euros
2 × ( 300 + 10 ) = 620 euros
Elle avait donc 620 euros au départ

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Le 25/10/2010

Vous vous rendez à votre travail à une vitesse moyenne de 20 km/h. A quelle vitesse moyenne devrait vous faire le retour pour que la vitesse moyenne de l'aller-retour soit de 40km/h?

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Enigme - Aller Retour

C'est impossible. Prenons 20 km entre votre domicile et votre travail. Vous faites donc l'aller en 1 heure.
Vous devez faire l'aller retour à 40 Km/h de moyenne, vous avez 40 Km à parcourir, donc vous devez mettre 1 heure.
Or vous avez déjà mis 1 heure pour faire simplement l'aller simple, il vous est donc impossible de retourner en faisant une moyenne de 40 Km/h.

Mathématiquement on peut l'écrire:
vitesse moyenne = distance / temps.
Soit v1 la vitesse moyenne de l'aller : v1 = d / t1.Soit v2 la vitesse moyenne du retour : v2 = d / t2.
Soit vT la vitesse moyenne sur le parcourt : vT = (2*d) / (t1 + t2).
On a v1 = 20 Km/h et vT = 40 Km/h.
Sit 2*v1 = vT Soit 2 (d / t1) = 2*d / (t1 + t2).
Soit 1 / t1 = 1 / (t1 + t2).
Soit t2 = 0.
Ce qui donne une vitesse de retour (v2 = d / t2) infinie.

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Le 25/10/2010

Selon la légende, le jeu d'échecs fut inventé en Inde par un savant. Le roi, séduit par ce nouveau loisir, le convoqua au palais:
- Ton jeu m'a redonné la joie de vivre! Je t'offre ce que tu désires !
Le sage ne voulait rien et ne dit mot. Le roi offensé s'énerva: "Parle donc, insolent! Tu as peur que je ne puisse exaucer tes souhaits ?"
Le sage fut blessé par ce ton et décida de se venger: "J'accepte ton présent. Tu feras déposer un grain de blé sur la première case de l'échiquier."
- Et c'est tout ? Te moquerais-tu de moi ?
- Pas du tout, Sire. Vous ferez mettre ensuite 2 grains sur la deuxième case, 4 sur la troisième et ainsi de suite...
Le roi s'énerva pour de bon: "Puisque tu honores si mal ma générosité, vas-t-en ! Ton sac de blé te sera porté demain et ne me dérange plus !"
Le roi a-t-il eut raison d'accepter cette proposition?

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Enigme - L'origine du jeu d'échec

Le lendemain matin, le roi fut réveillé par son intendant affolé: " Sire, c'est une catastrophe! Nous ne pouvons pas livrer le blé! Nos mathématiciens ont travaillé toute la nuit: il n'y a pas assez de blé dans tout le royaume pour exaucer le souhait du savant!".
En effet, le nombre de grains de blé est égal à 18 446 744 073 709 551 615 !!!!!
On obtient ce nombre par la formule donnant la somme des termes d'une suite géométrique:
S = 1* (2^64-1) / (2-1)
S'il voulait fournir le blé, le roi devrait accumuler toutes les moissons réalisées sur Terre depuis 5000 ans !! Si son silo mesure 4 mètres sur 10, sa hauteur devra être de 300 millions de kilomètres, deux fois la distance Terre-Soleil !!
Moralité: Il faut toujours se méfier des progressions géométriques, qui commencent l'air de rien par de touts petits nombres et engendrent de véritables monstres !

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Le 25/10/2010

La tour Eiffel haute de 300m pèse environ 8000 tonnes. J'aimerais avoir un modèle réduit fidèle de cette tour ne pesant qu'un seul kilogramme. Sachant que je veux garder les mêmes matériaux dans les 2 tours quel sera la taille du modéle réduit?

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Enigme - La tour Eiffel

Les volumes de corps semblables sont dans un rapport égal au cube leur hauteur. Donc par conséquent le modèle doit être (8*10^6)^(1/3)=200 fois plus petit que l'original. La hauteur du modèle réduit doit donc être égale à 300/200=1,5m.

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Le 25/10/2010

Un père et son fils ont 60 kilomètres à parcourir. Ils possèdent un cheval qui fait une moyenne de 12 km/h. Mais le cheval ne peut porter plus d'une personne à la fois, ils sont donc obligés d'alterner les temps où l'un est sur le cheval et où l'autre marche. Le père marche à 6 km/h et le fils à 8km/h. S'ils atteignent le but ensemble, combien de temps au minimum mettront-ils?

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Enigme - Le père, le fils et le cheval

Plusieures techniques peuvent être employées pour atteindre l'arrivée. Le fils marche seul (7h30), le père marche seul (10h). Mais ils peuvent intervertir la marche et le cheval. Donc pour que les deux arrivent en même temps on peut écrire le systeme d'équations avec L la distance parcourue par le père à pied:
L/6+(60-L)/12=L/12+(60-L)/8
Ce qui donne L=20. Soit le temps du voyage de 6h40 min.

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Le 25/10/2010

Un alpiniste s'apprête à tenter en solitaire une escalade qui durera 15 jours. La descente est aussi délicate que la montée et nécessite aussi 15 jours (donc 30 jours en tout).Il ne peut emmener que 18 rations journalières (nourriture et eau). Dans cette montagne, aucun refuge n'a été construit, pas question d'espérer retrouver le moindre paquet abandonné. Heureusement, l'alpiniste peut compter sur un sherpa, pour l'accompagner sur une partie de l'ascension, porter des provisions ou aller en chercher. Comme lui, son assistant peut se charger de 18 rations, comme lui, il en consomme une par jour. Comment les deux hommes devront-ils procéder pour que chacun mange à sa faim et que l'alpiniste réussisse son exploit dans les temps prévus ?

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Enigme - L'ascension

Il faut que l'alpiniste mangent les rations du sherpa quand ils montent ou descendent ensemble.
Initialement chacun possède 18 rations. Calculons le nombre de rations que l'alpiniste pourra manger afin que le sherpa puisse redescendre faire le ravitaillement.
Appelons S le sherpa et A l'alpiniste.
Le moment où ils se séparent correspond à l'égalité entre le nombre de jours et de rations restantes du sherpa. Soit 6 jours, l'alpiniste et le sherpa auront mangé 12 rations.
Au 6e jour quand ils se séparent: A=18 rations, S=6 rations.
Au 12e jour le sherpa arrive pour faire le ravitaillement. A=12 rations, S=18 rations.
Le sherpa doit donc maintenant attendre puis atteindre l'alpiniste le jour ou il prend sa dernière ration. Pour l'alpiniste il lui reste 12 rations; 3 jours de montée et 15 jours de descente. Sa dernière ration prise le sera le 9e jour de descente soit le 24 jour.
Le sherpa doit donc le rejoindre à ce moment là, c'est à dire à 6 jours de montée. Il partira donc du campement de base à 24-6=18e jour.
Il se rencontre donc le 24 jours: A=0 rations, S=12 rations. Ils peuvent maintenant descendre et manger ensemble pendant les 6 derniers jours les 6 derniers rations restantes.

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